Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises von Klaus Schröer
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises Diese Präsentation beruht auf dem deutschen Buch "Ich aber quadriere den Kreis ..." von Klaus Schröer und Klaus Irle
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/1 1492 schuf Leonardo da Vinci die wohl berühmteste Zeichnung aller Zeiten: Die sogenannte Proportionsstudie nach Vitruv.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/2 Auf das Blatt setze er eine männliche Figur mit horizontalen Armen und vertikalen Beinen...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/3 ...und eine weitere mit gespreizten Extremitäten.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/4 Beide kombinierte er zu einer Doppelfigur, welche eine Bewegung der Arme und Beine illustriert.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/5 Ferner markiert die erste Figur ein Quadrat...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/6 ...und die zweite einen Kreis. Die Grundidee eines ideal proportionierten Menschen, der einen Kreis und ein Quadrat markiert, stammt nicht von Leonardo selbst.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/7 Diese Idee wurde erstmalig vom antiken römischen Architekten Vitruv beschrieben. Und Leonardo würdigte dies, in dem er diesen Text oben und unten auf dem Blatt in eigenen Worten zitierte.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/8 Ebenso setze Leonardo eine Skala unter die Zeichnung, die auf spezielle menschliche Proportionen Bezug nimmt, die Vitruv erwähnte. Zu guter letzt hat er das Blatt natürlich signiert. Einige Katalogisierungsvermerke wurden später ergänzt.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 1/9 Aber diese Zeichnung enthält ein faszinierendes Geheimnis: Sie kann als geometrischer Algorithmus in unendlich vielen Schritten zur Lösung der sogenannten Quadratur des Kreises betrachtet werden. Bevor dies hier näher betrachtet wird, zunächst eine kurze Darstellung, was man unter der Quadratur des Kreises eigentlich versteht.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 2/1 Es handelt sich dabei um ein antikes geometrisches Problem der alten Griechen. Das Ziel ist es, ein Quadrat und einen Kreis der Art zu konstruieren,...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 2/2 ...dass die Fläche des Quadrates gleich groß ist...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 2/3 ...wie die des Kreises.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 2/4 Hierbei durften aber nur zwei Werkzeuge verwendet werden: ein Zirkel und ein maßloses Lineal.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 2/5 Über die Jahrhunderte haben viele Leute nach der Lösung gesucht und scheiterten, bis 1823 Lindemann beweisen konnte, dass das Problem nur in unendlich vielen Konstruktionsschritten lösbar ist.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 2/6 Nun, konnte Leonardo von diesem Beweis Kenntnis haben? Natürlich nicht.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 2/7 War Leonardo an der Quadratur des Kreises interessiert? Er war besessen davon...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 2/8 ...und behauptete den Besitz von Lösungen in unendlich vielen Schritten!
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/1 Kommen wir nun zum Algorithmus der Proportionsstudie nach Vitruv.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/2 Der Schlüssel zum Verständnis der Zeichnung liegt darin einen weiteren Kreis hinzuzufügen,...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/3 ...der die gleiche Fläche hat wie das Quadrat, das Leonardo eingezeichnet hat...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/4 ...und ein weiteres Quadrat hinzuzufügen,...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/5 ...das die gleiche Fläche hat, wie der Kreis, den Leonardo eingezeichnet hat.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/6 Das Resultat sind zwei Paare von je einem Quadrat und einem Kreis - ein kleineres Paar und ein größeres Paar - und diese beiden Paare sind, wie wir nun sehen werden, über geometrische Konstruktionen aufs engste verbunden.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/7 Der größere Kreis ist ein Konstruktionsresultat basierend auf dem kleineren Paar Quadrat und Kreis. Die Konstruktion entspricht dabei den Bewegungen der Arme.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/8 Leonardo hat die Mittelpunkte dieser Armbewegungen eingezeichnet und so können sie in zwei Konstruktionskreise übersetzt werden, die von den oberen seitlichen Schnittpunkten von Kreis und Quadrat zu den oberen Schnittpunkten des neuen größeren Kreises mit dem Quadrat führen.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/9 Zusammen mit dem Punkt auf dem dieser Kreis steht sind also drei Punkte seiner Kreisbahn bekannt, was es ermöglicht, diesen inklusive seinem Mittelpunkt zu konstruieren, welcher dem Bauchnabel entspricht.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/10 Das große Quadrat ist ebenso Konstruktionsresultat, wie wir in dieser Animation sehen.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/11 Was man braucht ist der Mittelpunkt des großen Kreises, den wir gerade konstruiert haben und die unteren Eckpunkte des kleinen Quadrates.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/12 Dann zeichnet man zwei Geraden von den Eckpunkten des Quadrates durch den Mittelpunkt des großen Kreises bis man wieder die Bahn des großen Kreises schneidet. Die Höhe dieser Punkte nimmt man dann als Kantenlänge für das neue größere Quadrat.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/13 So haben wir jetzt eine Konstruktion, die vom kleineren Paar Quadrat und Kreis zum größeren führt. Bevor es weiter geht, sehen wir uns die komplette Konstruktion hier in Ruhe und zweimal hintereinander animiert an.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 3/14 Einen eleganten Konstruktionsweg zu haben, mit dem ein größeres flächengleiches Paar aus einem kleineren erzeugt wird, ist schön, aber noch kein Lösungsvorschlag für die Quadratur des Kreises, da ein flächengleiches Startpaar vorausgesetzt wurde.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/1 Die tiefere Bedeutung der Konstruktion wird erst klar, wenn man sie an einem nicht flächengleichen Startpaar ausführt. In diesem Beispiel hat der Kreis nur 90% der Prozent der Fläche des Quadrates.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/2 Stellen Sie sich Leonardos Figur mit den horizontalen Armen hier vor. Sie würde deutlich anders aussehen. Dies wird hier aber bewußt nicht illustriert. Niemand soll sich hier eventuell auf Grund seiner Proportionen irgendwie verletzt fühlen. Das ist nicht die Intention dieser Präsentation.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/3 Wir werden nun ein neues Paar Quadrat und Kreis aus diesem Paar mit den Methoden konstruieren, die wir aus Leonardos Zeichnung gelernt haben.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/4 Und für dieses Experiment werden wir den Radius der Armbewegung im Verhältnis zur Kantenlänge des Startquadrates benutzen, den Leonardo benutzte.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/5 In dieser Animation ist nun die Konstruktion des neuen Paares zu sehen. Am Ende wird alles außer dem neuen erzeugten Paar ausgeblendet.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/6 Und das ist das Resultat. Angefangen mit einem Paar mit 10% Flächenunterschied unterscheiden sich die Flächen des neu erzeugten Paares nur noch um etwa 1,6%.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/7 Nun werden wir eine Figur mit horizontalen Armen ergänzen, die dieses Paar repräsentiert. Wie wir im nächsten Bild sehen werden, sind die Proportionen der Figur jenen in Leonardos Zeichnung schon sehr ähnlich.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/8 Vergleichen wir nun diese Figur mit der Originalzeichnung.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/9 Der Unterschied ist schwer zu sehen. OK. War die dramatische Veränderung des Flächenverhältnisses nur ein Zufall? Was passiert, wenn man andere Flächenverhältnisse für das Startpaar wählt?
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/10 Nun zu dieser Frage wurden eine Menge Experimente gemacht. Zunächst wurden diese ganz klassisch durchgeführt: mit Papier, Zirkel und Lineal und über den Weg der Messung.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/11 Aufgrund der erstaunlichen Resultate dieser ersten Versuche wurde die Konstruktion mathematisch modelliert, wie hier zu sehen ist.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/12 Auf dieser Basis wurde dann ein ganz einfaches Javascript geschrieben, dass die Konstruktion numerisch simuliert, wie es hier zu sehen ist.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/13 Sowohl die mathematische Modellierung wie auch das Javascript stehen natürlich auf der Internetseite www.klaus-schroeer.com/leonardo/ zum Download unter dem Punkt Ressourcen am Ende der Seite zur Verfügung.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/14 Kommen wir nun zu den faszinierenden Ergebnisses, die Leonardos Konstruktion erzeugt. Auf der y-Achse links sehen wir verschiedene Flächenverhältnisse der Startpaare zwischen 0,8 und 1,25.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/15 Einen Schritt weiter rechts sehen wir dann die Flächenverhältnisse der durch Leonardos Konstruktion erzeugten Paare. Wie man sieht scheinen die Flächenverhältnisse der erzeugten Paare allesamt näher an 1 zu liegen - der Quadratur des Kreises!
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/16 Und nun versetzen Sie sich in Leonardo und stellen sich vor, Sie hätten das gerade herausgefunden. Was wäre der offensichtliche nächste Schritt? Genau: Die Konstruktion an den Resultaten der Konstruktion nochmal auszuführen!
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/17 Das Resultat ist atemberaubend. In der dritten Generation liegen alle Flächenverhältnisse von Quadraten und Kreisen extrem nah an 1. Die Konstruktion der Proportionsstudie war nie dahingehend gemeint, nur einmal ausgeführt zu werden.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/18 Vielmehr sollte sie immer und immer wieder an ihren Resultat erneut ausgeführt werden, so dass eine ins Unendliche fortschreitende rekursive Folge von Kreisen und Quadraten entsteht.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/19 Benutzt man den in Leonardos Zeichnung zu sehenden Radius der Armbewegungen nähern sich die Flächenverhältnisse der Quadrate und Kreise dieser Folge immer näher einem Wert von 1,00037 an. Dieses Verhalten der Flächenverhältnisse schreitet schnell voran und nennt sich Konvergenz.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 4/20 OK. 1,00037 ist nicht die ideale Quadratur des Kreises, aber es ist das beste Resultat der Renaissance - besser als z.B. Dürer oder Luca Pacioli. Bevor wir aber zu zusammenfassenden Schlußfolgerungen kommen, gilt es noch einen letzten Punkt zu untersuchen:
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/1 Den Radius der Armkreise, also die Entfernung zwischen diesen beiden Punkten hier. Nennen wir den Radius einfach x. Bis zu diesem Punkt haben wir nur den Radius benutzt, den Leonardo uns in seiner Zeichnung mitgeteilt hat und der bei etwa 0,436 liegt. Dieser produziert Quadrate und Kreise, deren Flächenverhältnisse sich 1,00037 annähern.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/2 Nun werden wir andere Werte für den Armradius x ausprobieren und zwar in einem Bereich zwischen 0,5 ...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/3 und 0,4...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/4 ...und in Schritten mit einer Länge von 0,01 zwischen diesen Werten, wie wir hier sehen. Und wir werden die vertikale Skala benutzen, um die Flächenverhältnisse, die wir für diese Werte von x erhalten in den Plot einzutragen.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/5 Und das hier ist das Resultat. Der Wert für x, den Leonardo benutzte, ist im Plot markiert. OK. Was können wir von diesem Plot lernen? Zunächst mal: solange man nur eine Quadratur des Kreises für praktische Zwecke durchführen möchte, ist der Wert für x innerhalb des Intervalls nicht von Bedeutung. Wir bekommen exzellente Werte über das gesamte Intervall zwischen 0,5 und 0,4.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/6 Aber viel wichtiger ist: Der Plot sieht aus wie eine Funktion, die partiell stetig und streng monoton steigend ist.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/7 Und das bedeutet: es gibt in diesem Intervall einen Wert für x, der Paare von Quadraten und Kreisen erzeugt, deren Flächenverhältnisse gegen 1 konvergieren - die ideale Quadratur im mathematischen Sinne. Dieser Wert liegt irgendwo zwischen 0,45 und 0,46 und ist hier mit einem Pfeil markiert.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/8 Dieses ideale x kann man präzise kalkulieren. Der Trick ist der: man nimmt an, dass man diesen idealen Radius x schon hat und dass sich die rekursive Folge bereits im Unendlichen und somit in der Konvergenz befindet. Dann müssen zwei aufeinander folgende Paare von Quadraten und Kreisen bereits beide ideal flächengleich sein. Dies genügt, um x zu berechnen. Hier die Berechnung:
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/9 Und das ist das Resultat. Es sollte nicht verwunden, dass es sich um einen Ausdruck von Pi handelt, denn es geht ja um die Quadratur des Kreises. Wir können auch einen numerischen Näherungswert für x berechnen: er liegt etwa bei 0,4535605...
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/10 Und weil das ideale x ein Ausdruck von Pi ist bräuchte man ebenso unendlich viele Schritte, um es mit Zirkel und maßlosen Lineal zu konstruieren. Aber Leonardos Algorithmus arbeitet in unendlich vielen Schritten.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/11 Es ist also denkbar, Leonardos Verfahren z.B. mit x = 0,5 zu starten und dann in jeder Generation ein neues x mit einer innerhalb der Generation endlichen Anzahl von Schritten zu konstruieren, so dass am Ende - also im Unendlichen - dieses x gegen den Idealwert konvergiert und somit die ideale Quadratur erzeugt.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 5/12 Und möglicherweise entsprechen diese Konstruktionsschritte innerhalb einer Generation wiederum Bewegungen und Proportionen des menschlichen Körpers. Die moderne Mathematik schließt diese Möglichkeit nicht aus!
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 6/1 Resultate: Die Proportionsstudie nach Vitruv von Leonardo da Vinci zeigt eine geometrische Konstruktion zur Erzeugung einer unendlichen rekursiven Folge von Kreisen und Quadraten. Beginnt man diese Folge mit einem Paar mit unterschiedlichen Flächen nähern sich die Flächenverhältnisse der folgenden Paare Generation für Generation einem Wert von 1,00037 an.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 6/2 Dieses Verhalten schreitet schnell voran und nennt sich Konvergenz. Diese Folge war als Lösung für die sogenannte Quadratur des Kreises in unendlich vielen Schritten gedacht, deren Besitz Leonardo behauptete.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 6/3 In seiner Zeichnung zeigte Leonardo die Konstruktion und die Folge anhand zweier aufeinander folgenden Generationen - Generation n und Generation n+1 - und bereits im Zustand der Konvergenz, da beide Paare bereits gleiche Flächen haben.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 6/4 Und er zeigte nur das Quadrat der Generation n und den Kreis der Generation n+1. Die erstaunlichste Tatsache ist aber, dass Leonardo seinen Algorithmus in den Proportionen und Bewegungen des menschlichen Körpers auf der Basis der Ideen des antiken Architekten Vitruv entdeckte.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 6/5 Ferner ist nicht auszuschließen, dass ein idealer Algorithmus auf der Basis von Leonardos Ideen existiert, der die Quadratur des Kreises in unendlich vielen Schritten ideal vollzieht und ebenfalls in den menschlichen Bewegungen und Proportionen zu finden ist.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 6/6 Ich hoffe, Ihnen hat diese Präsentation gefallen! Besuchen Sie bitte die Internetseite, verlinken Sie darauf und erzählen Sie Ihren Freunden davon.
Leonardos Proportionsstudie und die Quadratur des Kreises 6/7 Und wenn Sie möchten, können Sie das Projekt auch unterstützen, in dem Sie z.B. T-Shirts, Kaffeetassen etc. im Shop auf der Seite erwerben.
